Digital Teknik

Digital teknik

Boolsk Algebra

Boolsk algebra og logik er et komplet system til logiske operationer. Den boolske logik blev defineret af George Boole i midten af det 19. århundrede, og er i dag fundamentet for alt moderne elektronik. Senere blev det påvist af Claude Elwood Shannon at anvendelsen af boolsk logic inden for elektronik kunne bruges til at løse ethvert logisk og numerisk forhold.

Nu står der enten TTL eller CMOS udgaven af chippen, så skal det huskes at TTL kræver mindst 15V +- 10%, og du risikere at få problemer hvis du kobler mere end 10 sammen. CMOS udgaven kan køre på spændinger fra 3V til 15V, og du kan koble dem sammen ligeså tosset du vil(Tag det med et gran salt).

Regneregler for boolsk algebra

(1)
\begin{align} &1a.\quad A+0=A & \hspace{5 cm} &b.\quad A\cdot 1 = A\\ &2a.\quad A+1=1 & \hspace{5 cm} &b.\quad A\cdot 0=0\\ &3a.\quad A+A=A & \hspace{5 cm} &b.\quad A\cdot A=A\\ &4a.\quad A+\overline{A}=1 & \hspace{5 cm} &b.\quad A\cdot\overline{A}=0\\ &5a.\quad\overline{A}=A\\ &6a.\quad A+B=B+A & \hspace{5cm} &b.\quad A\cdot B = B\cdot A\\ &7a.\quad A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C) & \hspace{5 cm} & b.\quad A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)\\ &8a.\quad A+(B+C)=(A+B)+C & \hspace{5 cm} & b.\quad A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C\\ &9a.\quad \overline{A+B}=\overline{A} \cdot \overline{B} & \hspace{5 cm} & b.\quad \overline{A\cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\\ &10a.\quad A+(A\cdot B)=A & \hspace{5 cm} & b.\quad A\cdot (A+B)=A\\ &11a.\quad (A+B)\cdot (A+\overline{B})=A & \hspace{5 cm} & b.\quad A\cdot B+A\cdot \overline{B}=A\\ &12a.\quad A+(\overline{A}\cdot B)=A+B & \hspace{5 cm} & b.\quad A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B\\ \end{align}

De Morgan's lov

Man kan anvende De Morgan's lov i tilfælde hvor man kan anvende OR gates til at konstruere et AND udtryk og omvendt.

(2)
\begin{align} \overline{A+B}=\overline{A} \cdot \overline{B} & \hspace{5 cm} & \quad \overline{A\cdot B} = \overline{A} + \overline{B} \end{align}

Gates%20sandhedsskema.jpg

Hvis nogen kan se noget nyttigt i de nederste udtryk, så skriv det venligst.

(3)
\begin{align} \begin{split} &A\cdot B=C\qquad \text{man siger}\qquad A\quad\text{AND}\quad B \\ &A + B=C\qquad \text{man siger}\qquad A\quad\text{OR}\quad B \\ \end{split} \end{align}

Eksempler på opgaver med boolsk algebra

Her finder du eksempler på løste opgaver som har noget at gøre med boolsk algebra.

Skematiske gates og boolsk algebra

bool-intro-opgave-1.png
bool-intro-opgave-2.png
bool-intro-opgave-3.png
bool-intro-opgave-4.png

Logiske Gates

De forskellige operationer kan også kaldes "gates", og kan som regel findes som IC'er på kredsløb.

AND = "Både og"

And-gaten vil altså kun give output 1, hvis begge inputs også er 1.

Repræsentation af operatoren på et schematic

AND_Gate_diagram.jpg

Sandhedstabel

input: A og B
output: C

A B C
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Kredsløb der fungere som en AND gate

AND-gate-circuit.png

Navne på dele

TTL udgave "7408", CMOS udgave "4081".


OR gate - "Enten eller"

Or-gaten vil give outputtet 1, så længe bare én af dens inputs er 1.

Repræsentation af operatoren på et schematic

or-gate.png

Sandhedstabel

Input: A og B
Output: C

A B C
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Kredsløb der fungere som en OR gate

or-gate-circuit.png

Navne på dele

TTL: 7432
CMOS: 4071


NOT gate - "Inverter"

Repræsentation af operatoren på et schematic

not-gate.png

Sandhedstabel

Input: A
Output: C

A C
0 1
1 0

Kredsløb der fungere som en NOT gate

not-gate-circuit.png

Navne på dele

TTL: 7404
CMOS: 4069


NOR Gate - OR NOT Gate

Repræsentation af operatoren på et schematic

Nor-gate.png

NOR kan laves ved at sætte en NOT gate på enden af en OR gate

or-not-gate.png

Hvis det gøres, kan sandhedstabelen udtrykkes følgende.
or-not-truthtable.png

Sandhedstabel for NOR gate

Input: A og B
Output: C

A B C
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

Navne på dele

TTL: 7402
CMOS: 4001


NAND Gate - AND NOT Gate

Repræsentation af operatoren på et schematic

Nand-gate.png

NAND Gate kan laves ved at sætte en NOT gate på enden af en AND gate

and-not-gate.png

Hvis det gøres, kan sandhedstabelen udtrykkes følgende.
and-not-truthtable.png

Sandhedstabel for NAND gate

Input: A og B
Output: C

A B C
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Navne på dele

TTL: 7400
CMOS: 4011


Sammenhæng mellem IC og Gates ( Varierer fra IC til IC)
Billedet viser et eksempel på en AND gate, denne gate indeholder 4 and gates, som kan bruges at samle to forbindelser. Alt afhængig af ICen kan portene være placeret anderledes. Eksemplet viser IC 7400, og dens forbindelser.

  • Tip: Der kan i nogen grad trækkes baner UNDER ICen, for at forbinde og spare på baner. Dog må banen ikke være for snæver, da selv de mindste forstyrrelser så som et støvfnug vil give støj.
Sammenh%C3%A6ng%20mellem%20gate%20og%20IC.jpg

Karnaughkort

Karnaughkort bruges til at redusere antallet af nødvendige gates i et system. Istedet for at opstille en sandhedstabel, og gennemgå hvilke situationer der giver et sandt udtryk, og hvordan de vil have indflydelse på systemet, så bruger Karnaugh kort en tabel til at udføre samme formål. Måden tabellen opstilles på, er ved at opstille de input som man vil undersøge horisontalt og verikalt. Det er at foretrække den mindst vigtige som den vandrette. Opskrivningen af de mange kombinationer skal ske med gray kode, som kræver at vores opstilling ikke ændrer sig mere end 1bit per felt. Det vil sige istedet for at tælle binært igennem tabellen, så er vi nød til at skrive tabellen vertikalt således: 0-1-3-2. Dette skrives i binært som 00-01-11-10. Her kan det ses at der kun ændres 1bit ad gangen. Lodret kan vi se at variablen A

Eksempel%20p%C3%A5%20karnaughtkort.jpg

ændrer sig fra lav (0) til høj(1), det samme gælder vandret med B. Da to af resultaterne er ved siden af hinanden, kan vi sætte dem uden for, og se hvilke variabler der ændrer sig. Hvis en variable ændrer sig, så vil den blive ekskluderet fra "parret" Resultatet af den vandrette bliver = NOTA(B) og lodret = NOTB(A). Da to inverterede variabler forbundet med et + betyder AND, så kan vi se at gaten de skal sættes sammen med er en NAND gate.

D C B A Out
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
AB\CD 00 01 11 10
00 1 1 0 1
01 0 1 1 0
11 1 0 0 1
10 1 1 1 0
(4)
\begin{align} A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot \overline{C} \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot C \cdot \overline{D}\\ B(A \cdot D + \overline{A} \cdot \overline{C}) + \end{align}

Display

BCD:

4553 multiplexer m. clock, reset, latch enable —> 4518 BCD-tæller —> 4511 BCD —> LEDs

Transistorer til at tænde og slukke displays via multiplexer.

Projekter

Terning

Frekvenstæller

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License